信道编码的两个方向:线性分组码和卷积码

信道编码的历史仍然可以追溯到香农于1948年出版的那篇著名论文。香农发现,任何通信信道(或存储信道)都有自己的信道容量 ,其单位是比特/秒(bit/s),其物理意义为:当一个通信(或存储)系统的信息速率 小于信道容量 时,通过使用信道编码技术,是有可能使得系统输出的错误概率任意小的。但是,香农并没有指出如何找到合适的码,他的贡献主要是证明了这些码的存在并定义了它们的作用。其后在整个20世纪50年代,人们一直在努力寻找能够得到任意小错误概率且具有明确构造方法的编码方案,但是进展缓慢。20世纪60年代,人们不再痴迷于这个宏伟的目标,信道编码的研究方向开始确定下来,并逐渐分成了两个方向。

1.线性分组码

第一个研究方向是线性分组码,该类码具有严格的代数结构,并且主要采用分组码的形式。历史上第一种线性分组码是1950年R.W.Hamming发明的可以纠正1个错误的汉明码。其后不久,Muller提出了一种可以纠正多个错误的编码方法(1954年),紧接着Reed给出了该码的一种译码算法(1954年)。无论是汉明码还是Reed-Muller码,其性能距离香农给出的好码都非常大。之后,学者们付出了大量的辛勤研究工作,但是一直没有找到更好的码,直到十年之后,Bose、Ray—Chaudhuri(1960年)和Hocquenghem(1959年)才提出了一类可以纠正多个错误的编码方法,即BCH码。接着,Reed和Solomon(1960年)以及Arimoto(1961年)分别独立地发现了一类适用于非二进制信道的编码方法,即RS码。

BCH码的发现引起了一系列关于实用方法的研究工作,人们纷纷通过设计软件或硬件来实现编码器和译码器。第一种较好的译码算法是Peterson于1960年发现的方法,随后Berlekamp(1968年)和Massey(1969年)发现了一种更为有效的译码算法,并且随着数字电子技术的进步,该算法的实现已成为可能。此外,面向不同的应用和不同的编码需求,该算法也逐渐出现了很多变种。

2.卷积码

第二个研究方向是从概率的角度来理解编码和译码的过程,这条道路逐渐产生了序列译码(SequentialDecoding)的概念。序列译码要求引入长度不定的非分组码,这种码可以用树状图来描述,并且可以通过搜索树状图的算法来实现译码。其中最为有用的一种树状码(TreeCodes)是高度结构化的卷积码(ConvolutionalCodes),这种码可以通过线性移位寄存器电路来生成。到20世纪50年代末,使用基于序列译码的算法实现了卷积码的成功译码。其后直到1967年,A.J.Viterbi才提出了一种更为简单的译码算法,即维特比算法。对于中等复杂度的卷积码,维特比算法获得了广泛的使用,但是该算法对于强度更大的卷积码是不实用的。

经过二十多年的发展,到了20世纪70年代,两个研究方向在某些领域开始汇聚并相互渗透。J.L.Massey和G.D.Forney开始研究卷积码的代数理论,开创了卷积码的一种新的研究视角。而在分组码领域,人们开始研究码长较大的好码的构造方案,G.D.Forney在1966年引入了级联码(Concatenatedcodes)的思想,J.Justesen使用该思想设计了一种完全可构造且性能很好的长码。同时期的V.D.Goppa于1970年定义了一类能够确保得到好码的编码方法,尽管没有给出如何识别好码的方法。

到了20世纪80年代,信道编码器和译码器开始频繁出现在新设计的数字通信系统和存储系统中。例如,在CD中使用了可以纠正两个字节错误的RS码;RS码也常常出现在许多磁带设备、网络调制解调器和数字视频光盘中;而在基于电话线的调制解调器中,代数编码开始被诸如网格编码调制(1982年由G.Ungerboeck提出)的欧式空间编码所取代,这类方法的成功开始引起对基于欧氏距离的非代数编码方法的研究热潮。

到了20世纪90年代,信道编码、信号处理和数字通信之间的界限越来越模糊。Turbo码的出现可以看作是这个阶段的中心事件,用于长二进制码的软判决译码出现了实用的迭代算法,并且实现了香农给出的性能限。1996年,D.MacKay和M.Neal等人对R.G.Gallager在1963年提出的LDPC码重新进行了研究,发现该码具有逼近香农限的优异性能,并且具有译码复杂度低、可并行译码以及译码错误的可检测性等特点,从而成为信道编码理论新的研究热点。

进入21世纪,最大的突破性成果是2008年由土耳其毕尔肯大学ErdalArikan教授首次提出的Polar码。该码是一种可以实现对称二进制输入离散无记忆信道和二进制擦除信道容量的新型代码构造方法,一出现便在学术界和产业界引起了广泛关注。

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